Wiskundigen ontkrachten GPS-aannames

28 augustus 2024

In een nieuw onderzoek heeft Mireille Boutin van de TU/e belangrijke resultaten behaald die helpen om GPS-technologieën te verbeteren met behulp van onconventionele wiskundige technieken.

Beeld: iStockphoto

De zomervakantie loopt ten einde. Dat betekent voor velen een lange rit naar huis, waarbij we vaak vertrouwen op GPS-systemen om veilig thuis te komen. Maar af en toe kunnen GPS-systemen vreemde routeaanwijzingen geven, of in de war raken over je locatie. Tot nu toe wist niemand zeker wanneer de positie van satellieten goed genoeg was om ervoor te zorgen dat het GPS-systeem betrouwbare aanwijzingen geeft. Mireille Boutin van de TU/e en haar collega Gregor Kemper van de Technische Universiteit München hebben wiskunde ingezet om te bepalen wanneer je GPS-systeem genoeg informatie heeft om je locatie nauwkeurig te bepalen.

“Ga over 200 meter rechtsaf”. Dit is een typische instructie die velen hebben gehoord van hun global positioning system (GPS).

Dankzij de vooruitgang in GPS-technologieën en mobiele navigatie-apps speelt GPS bij moderne autoritten zonder twijfel een belangrijke rol.

Maar als je je strikt aan de instructies van GPS-apparaten houdt kan dat leiden tot ongewenste situaties. Linksaf in plaats van rechtsaf afslaan hoeft niet zo erg te zijn, maar het wordt een ander verhaal als je met je auto een haven binnenrijdt - zoals twee toeristen in 2023 in Hawaii deden. Je kunt je afvragen hoe vaak dit gebeurt, en waarom.

Mireille Boutin.

GPS en je zichtbaarheid

“De kern van het GPS-systeem werd halverwege de jaren 60 ontwikkeld. Destijds bood de theorie erachter geen enkele garantie dat de gegeven locatie correct zou zijn”, vertelt Mireille Boutin, professor aan de faculteit Mathematics and Computer Science.

Het zal je dan ook niet verbazen dat het berekenen van de positie van een object op aarde gebaseerd is op een stukje wiskunde. Deze manier van berekenen is sinds de begindagen niet veel veranderd en vormt de kern van het GPS-systeem dat we allemaal gebruiken. Een update was hard nodig.

Dus, samen met haar collega Gregor Kemper van de Technische Universiteit van München, wendde Boutin zich tot de wiskunde om de theorie achter het gos-systeem uit te breiden. Hun bevindingen zijn onlangs gepubliceerd in het tijdschrift Advances in Applied Mathematics.

Hoe werkt GPS?

Voordat we de grote ontdekking van Boutin en Kemper onthullen: hoe werkt GPS eigenlijk?

Bij global positioning gaat het om het bepalen van de positie van een apparaat op aarde met behulp van signalen die door satellieten worden verzonden. Een signaal dat door een satelliet wordt verzonden, bevat twee belangrijke gegevens: enerzijds de positie van de satelliet in de ruimte, anderzijds de tijd waarop de positie door de satelliet werd verzonden. De tijd wordt overigens geregistreerd door een zeer nauwkeurige klok aan boord van de satelliet, meestal een atoomklok.

Dankzij de atoomklok verzenden satellieten zeer nauwkeurige tijden, maar het grote probleem ligt bij de nauwkeurigheid van de klok in het apparaat van de gebruiker - of dat nu een GPS-navigatiesysteem, een smartphone of een hardloophorloge is.

“In feite combineert GPS nauwkeurige en onnauwkeurige informatie om uit te zoeken waar een apparaat zich bevindt”, zegt Boutin. “GPS mag dan veel gebruikt worden, maar we konden geen theoretische basis vinden om te garanderen dat de positie die verkregen wordt uit de satellietsignalen uniek en nauwkeurig is.”

Google zegt 'vier'

Als je snel op Google zoekt naar het minimumaantal satellieten dat nodig is voor navigatie met GPS, melden meerdere bronnen dat je minstens vier satellieten nodig hebt.

Daarom dachten we dat wij als wiskundigen die leemte in onze kennis konden opvullen.

Maar de vraag is niet alleen hoeveel satellieten je kunt zien, maar ook op welke manier ze geordend kunnen zijn. Voor sommige rangschikkingen is het onmogelijk om de positie van de gebruiker te bepalen. Maar welke rangschikkingen precies? Daar wilden de onderzoekers achter komen.

“We vonden vermoedens in wetenschappelijke artikelen die algemeen aanvaard lijken te zijn, maar we konden nergens rigoureuze argumenten vinden om ze te ondersteunen. Daarom dachten we dat wij als wiskundigen die leemte in onze kennis konden opvullen”, zegt Boutin.

Lineaire vergelijkingen zijn gemakkelijker op te lossen

Om het probleem op te lossen, vereenvoudigden Boutin en Kemper het GPS-probleem tot wat in de praktijk het beste werkt: vergelijkingen die lineair zijn in termen van de onbekende variabelen.

“Een verzameling lineaire vergelijkingen is de eenvoudigste vorm van vergelijkingen waar we op konden hopen. Eerlijk gezegd waren we verbaasd dat deze eenvoudige set lineaire vergelijkingen voor het GPS-probleem nog niet bekend was!” Boutin voegt eraan toe.

Het probleem van uniciteit

Met hun lineaire vergelijkingen paraat, keken Boutin en Kemper vervolgens goed naar de oplossingen van de vergelijkingen, waarbij ze speciale aandacht besteedden aan de vraag of de vergelijkingen een unieke oplossing gaven.

“Een unieke oplossing houdt in dat de enige oplossing voor de vergelijkingen de werkelijke positie van de gebruiker is”, merkt Boutin op.

Als er meer dan één oplossing voor de vergelijkingen is, dan is er maar één correct - dat is de ware gebruikerspositie. Maar het GPS-systeem zou niet weten welke te kiezen en zou de verkeerde kunnen teruggeven.

Bron: iStockphoto

Vier is misschien niet genoeg

De onderzoekers ontdekten dat niet-unieke oplossingen kunnen ontstaan als de satellieten in een speciale structuur liggen die bekend staat als een 'tweebladige hyperboloïde van omwenteling’.

“Het maakt niet uit hoeveel satellieten een signaal uitzenden - als ze allemaal op een van deze hyperboloïden liggen, is het mogelijk dat de vergelijkingen twee oplossingen kunnen hebben, dus de oplossing die de GPS kiest kan fout zijn”, zegt Boutin.

Maar hoe zit het dan met de bewering dat je minstens vier satellieten nodig hebt om je positie te bepalen? “Vier satellieten kan werken, maar de oplossing is niet altijd uniek”, zegt Boutin.

Waarom wiskunde belangrijk is

Voor Boutin toont dit werk de kracht en toepassing van wiskunde.

“Persoonlijk vind ik het geweldig dat wiskunde een heel krachtig instrument is met veel praktische toepassingen”, zegt Boutin. “Ik denk dat mensen die geen wiskundige zijn de verbanden misschien niet zo gemakkelijk zien, en daarom is het altijd leuk om duidelijke en overtuigende voorbeelden te vinden van alledaagse problemen waarbij wiskunde een verschil kan maken.”

Centraal in het onderzoek van Boutin en Kemper staat de algebraïsche meetkunde, waarin abstracte algebraïsche methoden worden gebruikt om meetkundige problemen uit de echte wereld op te lossen.

“Algebraïsche meetkunde is een gebied van de wiskunde dat als zeer abstract wordt beschouwd. Ik vind het fijn om eraan herinnerd te worden dat elk stukje wiskunde, hoe abstract ook, praktische toepassingen kan blijken te hebben”, zegt Boutin.